<T->
          Matemtica e realidade
          7 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2012 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1065-6
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
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          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p> 
                             I
Sumrio

Sexta Parte

<F->
Unidade 7 -- Aritmtica 
  aplicada

Captulo 26- Razes :::::: 571
Razes ::::::::::::::::::::: 577
Captulo 27- 
  Propores ::::::::::::::: 585  
Comparando sucesses de
   nmeros :::::::::::::::::: 585
Nmeros diretamente 
  proporcionais ::::::::::::: 585
Proporo :::::::::::::::::: 586
Fazendo mais comparaes ::: 590
Nmeros inversamente 
  proporcionais ::::::::::::: 591
Diviso proporcional ::::::: 594
Captulo 28- Grandezas
  proporcionais ::::::::::::: 601
Correspondncias entre 
  grandezas ::::::::::::::::: 601
Grandezas diretamente 
  proporcionais ::::::::::::: 625
<p>
Grandezas inversamente
  proporcionais ::::::::::::: 626
Regra de trs simples :::::: 638
Grandeza proporcional a 
  outras :::::::::::::::::::: 647
Regra de trs composta ::::: 654
<F+>
<211>
<T mat. realidade 7>
<t+571> 
Unidade 7 -- Aritmtica 
  aplicada 

<F->
Captulos: 
26- Razes 
27- Propores 
28- Grandezas proporcionais 
29- Juro simples 
<F+>
<212> 

Captulo 26- Razes 

  A todo momento estamos fazendo comparaes entre quantidades ou entre medidas de grandezas. Veja alguns exemplos. 

As colees de selos 

  Observe as colees de selos de Ricardo, Cludia e Vlter. Qual dessas colees  maior? 
<R+>
<F->
 O lbum de Ricardo tem 240 selos.
 O lbum de Cludia tem 120 selos. 
 O lbum de Vlter tem 40 selos. 
<F+>
<R->
<p>
   fcil responder: a coleo de Ricardo  a maior. 
  Ricardo possui mais selos que Cludia, e Cludia possui mais selos que Vlter. 
  Em termos relativos, quanto a coleo de Ricardo  maior que a de Cludia? 
  Observe: 
<R+>
 O nmero de selos de Ricardo  o dobro do nmero de selos de Cludia, ou seja: 
<R->
nmero de selos de Ricardo  
   nmero de selos de Cludia = 
  = 240120=2
  O quociente entre os nmeros de selos de Ricardo e Cludia  2. 
<R+>
 O nmero de selos de Cludia  o triplo do nmero de selos de Vlter, ou seja, o quociente entre esses nmeros  3: 
<R->
nmero de selos de Cludia  
   nmero de selos de Vlter = 
  = 12040=3
<p>
<R+>
 A coleo de Ricardo  seis vezes a coleo de Vlter: 
<R->
nmero de selos de Ricardo  
   nmero de selos de Vlter = 
  = 24040=6
<213>

Consumo de combustvel 

  Qual desses automveis gasta mais combustvel para ir de So Paulo ao Rio de Janeiro? 

<R+>
_`[{figuras de dois carros: um vermelho e outro azul_`]
<R->

  Sabe-se que o carro vermelho, movido a gasolina, consumiu o equivalente a R$60,00 de combustvel para fazer a viagem. O carro azul, movido a lcool, consumiu o equivalente a R$40,00. 
   claro que o carro vermelho gasta mais combustvel, mas, em termos relativos, quanto a mais? 
<p>
  Vamos calcular o quociente entre os totais gastos pelo carro vermelho e pelo carro azul: 
<R+>
custo de gasolina do carro vermelho  custo de lcool do carro azul = 6040=1,5
<R->
  O carro vermelho consome de combustvel uma vez e meia (1,5) o que consome o carro azul. 

A colheita de batatas

  Um agricultor colheu 240 kg de batatas do tipo A, dos quais 12 kg eram de m qualidade. Ele colheu tambm 360 kg de batatas do tipo B, dos quais 16 kg eram inaproveitveis. Qual dos dois tipos de batata  mais vantajoso para o agricultor? 
  Aqui no cabe a comparao absoluta. 
  Nas batatas do tipo A, as perdas foram de 12 kg em 240 kg. Como 12240=120, a perda foi de 1 kg em cada 20 kg de batatas. 
<p>
  Nas batatas do tipo B, as perdas foram de 16 kg em 360 kg. Como 16360=245, houve uma perda de 2 kg em cada 45 kg de batatas. 
  Comparando as perdas, como 120>245, as perdas do tipo A so maiores. Portanto, o cultivo do tipo B  mais vantajoso. 
<214>

Aplicaes financeiras 

  Maria Clara vendeu seu apartamento e aplicou R$8.000,00 numa caderneta de poupana que, ao final de um ano, rendeu R$960,00. No mesmo perodo, ela aplicou R$5.000,00 num fundo de investimentos que rendeu R$800,00. Qual das duas aplicaes teve maior rentabilidade? 
  Em termos absolutos, o rendimento da caderneta foi maior. 
<p>
  Em termos relativos, a rentabilidade da caderneta foi de 9608.000=12100=12%, e a do fundo foi de 8005.000=
 =16100=16%. Portanto, a rentabilidade do fundo foi maior. 

As doaes mensais 

  O sr. Antunes tem uma renda mensal de R$6.000,00 e doa todo ms R$250,00 para as obras assistenciais de sua igreja. 
  O sr. Medeiros recebe um salrio de R$4.000,00 e contribui mensalmente com R$200,00 para a creche de seu bairro. 
  Qual dos dois  mais generoso? 
  A comparao pode ser feita de dois modos: 
<R+>
 em termos absolutos, a contribuio do sr. Antunes  maior; 
 em termos relativos, o sr. Antunes doa todo ms 2506.000=
  =124 de sua renda, enquanto o 
<p>
  sr. Medeiros contribui com 2004.000=120 do seu salrio. Como 120>124, a contribuio do sr. Medeiros  relativamente maior. Ele  mais generoso. 
<R->

Razes 

  Como vemos, o quociente de um nmero por outro serve muito bem para comparaes. Em Matemtica, o quociente de dois nmeros (ou duas quantidades ou duas medidas)  chamado razo. 
  Dizemos, por exemplo: 
<R+>
 a razo de 240 para 40  24040 (que  igual a 6); 
 a razo de 45 para 30  4530 (que  igual a 1,5); 
 a razo de 16 para 360  16360 (que  igual a 245);
<p>
 a razo de 800 para 5.000  8005.000 (que  igual a 425);
 a razo de 250 para 6.000  2506.000 (que  igual a 124).
<R->
<215>

Exerccios

<R+>
<F->
1. Qual  a razo: 
a) de 18 para 6?
b) de 3 para 9? 
c) de 2 para #,c? 
d) de #,b para #,d?
e) de -#,e para -#,c?  
f) de #,b para 2? 

2. Calcule a razo do primeiro nmero para o segundo: 
a) 1,25 e 0,25 
b) 4 e 2,5 
c) 0,333 e 3 
d) 1,4 e -2,1  
<p>
3. Calcule a razo do nmero menor para o maior e d a resposta em taxa porcentual: 
a) 28 e 14 
b) #,b e #,e 
c) 3 e 12 
d) 0,3 e 0,06 
<F+>

4. Copie a tabela em seu caderno e complete-a. Substitua os pontinhos pelo valor correto das razes ab.
<p>
_`[{tabela adaptada_`]
<R->

<F->
 !::::::::::::::::::::
 l a     _ b      _ ab _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 14   _ 7     _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 26   _ 2     _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 4    _ 20    _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 18   _ -2    _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l -4   _ -8    _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 1,2  _ 0,2   _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l -1,8 _ 0,6   _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l -3,2 _ -4,8  _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 0,01 _ 0,005 _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 2,40 _ -0,2  _ ''' _
 r:::::::w::::::::w:::::w
 l 3,6  _ 0,04  _ ''' _
 h:::::::j::::::::j:::::j
<F+>
<p>
<R+>
5. Copie a tabela em seu caderno e complete-a, de modo que a razo ab esteja correta.

_`[{tabela adaptada_`]
<R->

<F->
 !::::::::::::::::::::
 l a     _ b   _ ab    _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l 6    _ 3  _ '''    _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l 8    _ ''' _ 4     _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l -1,2 _ ''' _ 0,5   _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l '''   _ -5 _ 3     _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l '''   _ -9 _ #,c    _
 r:::::::w:::::w::::::::w
 l '''   _ 8  _ -#,d   _
 h:::::::j:::::j::::::::j
<F+>
 
<R+>
<F->
6. A razo entre dois nmeros  53, e o menor deles  6. Qual  o maior? 
<p>
7. A razo de um nmero *x* para um nmero *y*  4. Qual  a razo de *y* para *x*?  
8. *a* e *b* so nmeros positivos, e a razo ab  igual a 7. Qual  maior: *a* ou *b*?  
9. *a* e *b* so nmeros positivos, e ab  igual a 0,6. Qual  maior: *a* ou *b*?  

10. Os nmeros *a* e *b* so racionais positivos e 3a=5b. Determine: 
a) a razo de *a* para *b*; 
b) qual dos nmeros  maior. 

11. Determine dois nmeros que tm soma 51 e que esto na razo 134. 
<216>
12. Qual  a razo entre a altura de Beatriz (150 cm) e a altura de Clvis (120 cm)? 
13. Certo refrigerante  vendido por R$0,90, em latas de 350 mL e por R$1,90, em garrafas de 2 L. Qual das duas embalagens  mais econmica para o consumidor?  
14. Qual  a razo entre a rea de um quadrado A com 4 cm de lado e a rea de um quadrado B com 8 mm de lado?  
15. Reparta 720 em duas parcelas tais que a razo entre elas seja 0,6.
16. Determine as dimenses de um retngulo que tem permetro 28 cm, sabendo que a razo entre o comprimento e a largura  43. 
17. Calcule a rea de um retngulo que tem permetro 70 m, sabendo que a razo entre seu comprimento e sua largura  25.
18. Carlinhos vendeu seu carro e aplicou R$7.000,00 numa caderneta de poupana e R$5.000,00 num fundo de investimentos. Depois de 60 dias, verificou que o saldo da poupana era de R$7.865,20, e o saldo do fundo era de R$5.940,50. Qual das duas aplicaes teve maior rentabilidade?  
<p>
19. Qual  a razo entre o volume de um cubo A com 4 cm de aresta e o volume de um cubo B com 2 cm de aresta? 
<F+>
<R->

Desafio 

Proporo e concentrao 

  Dois caminhes-tanque idnticos esto carregados com misturas lcool-gua de concentraes diferentes. A razo entre o volume de 
lcool e o volume de gua no primeiro caminho  81 e, no segundo, 101. (Dizemos 8 para 1 e 10 para 1) 
  Os dois caminhes descarregam sua carga em um reservatrio que estava vazio. Qual  a razo do volume de lcool para o de gua nesta ltima mistura?  

               ::::::::::::::::::::::::
<217>
<p>
Captulo 27- Propores 

Comparando sucesses de 
  nmeros 

<R+>
_`[{a professora diz: "Comparem estas duas sucesses de nmeros."_`]
<R->

<F->
2, 6, 10, 18
1, 3, 5, 9
<F+>

  Os nmeros da primeira sucesso so exatamente o dobro dos nmeros da segunda, ou seja, o quociente de cada termo da primeira sucesso pelo termo correspondente da segunda  sempre o mesmo, isto , 2: 
 21=63=105=189

Nmeros diretamente 
  proporcionais 

  No caso das duas sucesses apresentadas, dizemos que: 
<p>
<R+>
 os nmeros da primeira sucesso -- 2, 6, 10, 18 -- so diretamente proporcionais aos nmeros da segunda sucesso -- 1, 3, 5, 9; 
 o fator de proporcionalidade  2. 
<R->
  Os nmeros da sucesso *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, ... so diretamente proporcionais aos nmeros da sucesso *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, ... quando: 
 aa=bb=cc=dd=ee= ...
  O valor desses quocientes  chamado fator de proporcionalidade. 

Proporo 

  Observando os quocientes do exemplo inicial, temos: 
 63=105 
  Quando dois nmeros *a* e *b* (nessa ordem) so diretamente proporcionais a outros dois nmeros *a* e *b* (nessa ordem), temos: 
 aa=bb 
<218>
<p>
  Essa ltima igualdade  chamada proporo. Ela pode ser lida assim: *a* est para *a* assim como *b* est para *b*. 
 aa=bb 
  Um modo simples de verificar se a proporo aa=bb  verdadeira  fazer as multiplicaes cruzadas `(a.b e a.b`) e verificar se a.b=a.b que  chamada propriedade fundamental da proporo. 
  Ento, podemos comprovar que: 63=105, pois 6.5=3.10. 

Exerccios

<R+>
<F->
20. Como voc l a proporo 15~27=710? Escreva.  

21. Utilize a propriedade fundamental e verifique se a igualdade  verdadeira: 
a) -916=-1832
b) -0,020,003=406
c) 37=1535 
<p>
d) 0,10,01=220
e) 635=-18-105
f) 14=-3-12

22. Os nmeros da sucesso 1, 4, 9, 32 e os da sucesso -2, -4, -9, -32 so diretamente proporcionais? 

23. Quais das sucesses a seguir so formadas por nmeros diretamente proporcionais aos da sucesso 3, 4, 5, 6, 7? 
a) 6, 8, 10, 12, 14 
b) 9, 12, 15, 18, 21 
c) 7, 6, 5, 4, 3 
d) 13, 14, 15, 16, 17 

24. So dadas as sucesses de nmeros diretamente proporcionais 1, 2, 3 e 6, 12, 18. Qual  o fator de proporcionalidade entre elas?  

25. Quais das sucesses a seguir so formadas por nmeros direta-
<p>
  mente proporcionais aos da sucesso 3, 4, 5, 6, 7? 
a) 13, 14, 15, 16, 17
b) -3, -4, -5, -6, -7 
c) 32, 42, 52, 62, 72 

26. Qual o valor de *x* em cada proporo? 
a) x3=515 
b) 1x=26
c) 0,13=x9 
d) 12~27=34~x
e) 15~27=34~x 
f) ?x-2*4=?x-1*2
<219>

27. Determine o valor de *x* e de *y*: 
a) x4=y6=12
b) x15=4y=23
c) 2x7=3y2=6
d) x2~3=y3~2=35
<p>
28. Os nmeros 15, 6, 12 e 18 so diretamente proporcionais aos nmeros da sucesso *a*, *b*, *c* e *d*. Qual o valor de *a*, *b*, *c* e *d*, se o fator de proporcionalidade entre as propores  3? 

29. Determine o valor de *a*, *b* e *c*:  
15a=b12=34=c8

Fazendo mais comparaes 

_`[{a professora diz: "Comparem agora estas duas sucesses de nmeros."_`]

2, 3, 4, 6
12, 8, 6, 4
<F+>
<R->

  O produto de cada termo da primeira sucesso pelo termo correspondente da segunda sucesso  sempre o mesmo, isto , 24: 
 212=38=46=64 
<p>
  O quociente de cada termo da primeira sucesso pelo inverso do termo correspondente da segunda sucesso  sempre o mesmo, isto , 24: 
 2~112=3~18=4~16=
  =6~14

Nmeros inversamente 
  proporcionais 

  No exemplo anterior, dizemos que: 
<R+>
 os nmeros da sucesso 2, 3, 4, 6 so inversamente proporcionais aos nmeros da sucesso 12, 8, 6 e 4; 
 o fator de proporcionalidade  24. 
<R->
  Os nmeros da sucesso *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, ... so inversamente proporcionais aos nmeros da sucesso *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, ... quando: 
 a.a=b.b=c.c=d.d=e.e= ... 
<220>
<p>
  O valor desses produtos  chamado fator de proporcionalidade. 
  Isso equivale a afirmar que as razes (quocientes) de cada termo da primeira sucesso pelo inverso do termo correspondente da segunda sucesso so todas iguais: 
 a~1a=b~1b=c~1c=
  =d~1d= ...

Exerccios

<R+>
<F->
30. Quais das seguintes sucesses so formadas por nmeros inversamente proporcionais aos da sucesso 1, 3, 5, 10? 
a) 60, 20, 12, 6 
b) 10, 5, 3, 1 
c) 30, 10, 6, 3 
d) 1, 13, 15, 110 
e) -1, -3, -5, -10 
f) 12, 32, 52, 102 

31. So dadas as sucesses de nmeros inversamente proporcio-
  nais 2, 5, 6 e 60, 24, 20. Qual  o fator de proporcionalidade entre elas?  
<p>
32. Determine o valor de *x* e *y*: 
a) 2x=3y=24 
b) 7x=2y=84
c) x~12=y~13=6 

33. A sucesso *x*, *y*, *z*  formada por nmeros inversamente proporcionais a 1, 2, 11, e o fator de proporcionalidade  44. Calcule *x*, *y* e *z*.
34. Calcule *x* e *y*, sabendo que os nmeros da sucesso 2, *x*, *y* so inversamente proporcionais aos da sucesso 15, 6, 5.  
<F+>
<R->

Negcio entre amigos 

  Trs amigos montaram uma locadora de DVDs. Altemar entrou com R$12.000,00, Vlter com R$16.000,00, e Claudemir com R$8.000,00. Ao fim de seis 
meses obtiveram um lucro de R$7.200,00, que foi dividido entre os trs em partes diretamente proporcionais ao capital que cada um empregou. Quanto coube a cada um? 
<221>

Diviso proporcional

  Um problema prtico muito frequente  dividir um todo em partes de tamanhos proporcionais a nmeros conhecidos. 
  Vamos chamar de *a*, *b* e *c* as partes em que o lucro de R$7.200,00 ser dividido. 
  Essas partes so diretamente proporcionais a 12.000, 16.000 e 8.000, ento: a12.000=b16.000=c8.000=k 
 em que *k*  o fator de proporcionalidade. 
  Da vm as igualdades: 
 a=12.000.k 
 b=16.000.k 
 c=8.000.k 
 que somadas do: 
 a+b+c=12.000.k+16.000.k+
  +8.000.k=36.000k 
<p>
  Ento, como a+b+c=7.200, resulta: 
 36.000k=7.200 
 k=7.20036.000=0,2 
  Portanto: 
<R+>
 a=12.000.#j,b=2.400 (quantia recebida por Altemar) 
 b=16.000.#j,b=3.200 (quantia recebida por Vlter) 
 c=8.000.#j,b=1.600 (quantia recebida por Claudemir) 
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
35. Divida: 
a) 357 em partes diretamente proporcionais a 1, 7 e 13;  
b) 1.650 em partes diretamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7;  
c) 2.002 em duas parcelas diretamente proporcionais a 3 e 8;  
d) 2.870 em trs parcelas inversamente proporcionais a 2, 3 e 7; 
e) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6;  
<p>
f) 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9;  
g) 9.450 em trs partes, de modo que a primeira tenha metade do valor da segunda e a segunda, um tero do valor da terceira. 

36. Determine os nmeros *a* e *b*, em cada item, sabendo que: 
a) so diretamente proporcionais a 5 e 7 e que a-b=14;  
b) so diretamente proporcionais a 2 e 3 e que a+b=60.  
<222>

37. Joo e Maria montaram uma lanchonete em sociedade. Joo entrou com R$20.000,00; Maria investiu R$30.000,00 no negcio. Um ano depois eles avaliaram o desempenho da empresa e constataram que o lucro foi de R$7.500,00. Quanto do lucro vai caber a cada um? 
38. Srgio e Luzia formaram uma sociedade, Srgio entrou com R$2.960,00, e Luzia, com R$2.500,00. Depois de certo tempo, obtiveram um lucro de R$163,80. Que parte do lucro coube a cada scio? 
39. Claudinha e Roseli compraram juntas uma bicicleta. Claudinha entrou com R$400,00, e Roseli, com R$500,00. Depois de algum tempo, elas decidiram vender a bicicleta e repartir o dinheiro recebido proporcionalmente  quantia investida. Se a bicicleta foi vendida por R$720,00, quanto Roseli recebeu de volta? 
40. Determine *a*, *b* e *c*, sabendo que: 
a2=b3=c4 e a+b+c=45
41. Precisamos repartir R$5.000,00 entre Marcelo (7 anos), Luciano (8 anos) e Alexandre (10 anos), de modo 
  que cada um receba uma quantia proporcional  sua idade. Quanto cada um receber? 
<p> 
42. Qual o valor de *a*, *b* e *c*? 
a) a+b+c=31 e a~13=
  =b~12=c~15
b) a+b+c=24 e a.30=b.40=
  =c.24

43. Determine os nmeros *a*, *b*, *c* e *d*, diretamente proporcionais a 6, 3, 9 e 15, sabendo que a+3b+4c+5d=252. 

44. Determine os nmeros *a*, *b* e *c*, sabendo que: 
a) so diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e que a+3b+4c=93;  
b) so inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 e que a+b+c=940.  
<F+>
<R->

<223>
Desafio 

Contando retngulos 

  Quantos retngulos existem na figura a seguir?  

 !::::::::::::::
 l    _    _      _
 r::::w::::w::::::w
 l    _    _      _
 l    _    _      _
 r::::w::::w::::::w
 l    _    _      _
 l    _    _      _
 l    _    _      _
 h::::j::::j::::::j

Matemtica em notcia

Xarope de groselha 

 600 mL; 45 minutos; fcil. 

<R+>
 Ingredientes: 600 g de groselhas frescas ou congeladas; gua mineral suficiente para cobrir 
  as groselhas; acar; limo para finalizar (opcional) 
 Preparo: Cubra as groselhas com gua e leve ao fogo. Quando a gua ferver, deixe no fogo por mais cinco minutos. Passe no chinois ou peneira fina. Pese e coloque 50% do peso em acar (exemplo: para 1 kg de lquido 
  junte 500 g de acar). Leve ao fogo e, quando ferver, deixe por mais dez minutos em fogo 
  baixo. Para fazer refresco, junte uma parte de xarope e trs de gua, some cubos de gelo e uma rodela de limo se desejar. 

(*O Estado de S. Paulo*, 10/7/2008.) 
<R->

  A receita ensina a preparar 600 mL do xarope. 
<R+>
<F->
a) Para preparar 1 litro do xarope, quanto devemos colocar de groselhas frescas (ou congeladas)? 
b) Que quantidade de acar deve ser colocada?  
c) Para preparar 1 litro de refresco, que quantidade do xarope devemos usar? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<224>
Captulo 28- Grandezas 
  proporcionais

Correspondncias entre 
  grandezas 

A variao da temperatura 

  O Instituto Nacional de Meteorologia quis fazer um estudo da variao da temperatura  sombra, em Curitiba, e mediu-a de hora em hora. A tabela a seguir expressa o resultado das medies ao longo de certo dia. 

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Um dia frio na rua XV de Novembro, em Curitiba (PR).
<p>
_`[{tabela adaptada_`]
<R->

 !:::::::::::::::::::::
 l Hora _ Temperatura _
 l       _ (C)      _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 0    _ 7           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 1    _ 6           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 2    _ 5           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 3    _ 4           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 4    _ 3           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 5    _ 2           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 6    _ 2           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 7    _ 3           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 8    _ 5           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 9    _ 7           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 10   _ 12          _
 h:::::::j::::::::::::::j
<p>
(continuao)
 !:::::::::::::::::::::
 l Hora _ Temperatura _
 l       _ (C)      _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 11   _ 15          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 12   _ 18          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 13   _ 18          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 14   _ 20          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 15   _ 20          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 16   _ 20          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 17   _ 18          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 18   _ 15          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 19   _ 13          _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 20   _ 11          _
 h:::::::j::::::::::::::j
<p>
(continuao)
 !:::::::::::::::::::::
 l Hora _ Temperatura _
 l       _ (C)      _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 21   _ 9           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 22   _ 8           _
 r:::::::w::::::::::::::w
 l 23   _ 7           _
 h:::::::j::::::::::::::j

  Nesse exemplo so medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente temperatura. A cada hora corresponde uma nica temperatura. Dizemos, por isso, que a temperatura  funo da hora. 
<225>
<p>
O preo dos cocos 

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Barraca de coco na praia de Porto de Galinhas, em Pernambuco.
<R->

  Uma barraca na praia vende cocos e exibe a tabela de preos a seguir. 
<p>
<R+>
_`[{tabela adaptada_`]
<R->

 !:::::::::::::::::::
 l nmero   _ preo   _
 l de cocos _ (R$) _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 1       _ 1,20   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 2       _ 2,40   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 3       _ 3,60   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 4       _ 4,80   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 5       _ 6,00   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 6       _ 7,20   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 7       _ 8,40   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 8       _ 9,60   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 9       _ 10,80  _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 10      _ 12,00  _
 h::::::::::j:::::::::j
<p>
  Nesse exemplo, so medidas duas grandezas: o nmero de cocos e o respectivo preo. A cada quantidade de cocos corresponde um nico preo. Dizemos, por isso, que o preo  funo do nmero de cocos comprados. 

A velocidade do carro 

  Um automvel est percorrendo uma estrada  velocidade de 120 km/h (que equivale a 2 km/min). 
  O passageiro ao lado do motorista anota, de minuto em minuto, a distncia percorrida registrada no painel. O resultado pode ser observado na tabela a seguir: 
<p>
<R+>
_`[{tabela adaptada_`]
<R->

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Instante no    _ Distncia _
 l momento da      _  (km)    _
 l leitura (min) _            _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 0              _ 0         _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 1              _ 2         _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 2              _ 4         _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 3              _ 6         _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 4              _ 8         _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 5              _ 10        _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 6              _ 12        _
 r:::::::::::::::::w::::::::::::w
 l '''             _ '''        _
 h:::::::::::::::::j::::::::::::j
<p>
  A cada instante corresponde uma nica distncia percorrida. Dizemos, por isso, que a distncia  funo do tempo. 
<226>

A variao da massa 

  Uma vasilha de vidro, com graduao em milmetros,  colocada numa balana. Uma pessoa derrama leo de soja na vasilha e registra a leitura da altura da poro de leo derramado e de sua massa. 
  O resultado das anotaes est na tabela a seguir: 
<p>
<R+>
_`[{tabela adaptada_`]
<R->

 !:::::::::::::::::::
 l Altura  _ Massa  _
 l (mm)   _ (g)   _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 10      _ 80     _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 12      _ 96     _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 14      _ 112    _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 16      _ 128    _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 25      _ 200    _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 50      _ 400    _
 r::::::::::w:::::::::w
 l 100     _ 800    _
 h::::::::::j:::::::::j

  A cada altura corresponde um nico valor da balana. Dizemos, por essa razo, que a massa da camada de leo  funo da altura dessa camada. 
<p>
Nmero de ladrilhos 

  Um pedreiro est revestindo o piso de uma sala de 3 m3 m com ladrilhos quadrados, todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados de 10 cm, 12 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual  o nmero de ladrilhos que usar em cada caso? 
  Para achar o nmero de ladrilhos, basta dividir a rea da sala (9 m2=90.000 cm2) pela rea do ladrilho em cm2. A tabela a seguir resume os clculos. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: medida do lado (cm);
2 coluna: rea do ladrilho (cm2);
3 coluna: nmero de ladrilhos.
<F+>
<R->

 !::::::::::::::::::
 l 1  _ 2  _ 3  _
 r::::::w::::::w::::::w
 l 10  _ 100 _ 900 _
 r::::::w::::::w::::::w
 l 12  _ 144 _ 625 _
 r::::::w::::::w::::::w
 l 15  _ 225 _ 400 _
 r::::::w::::::w::::::w
 l 20  _ 400 _ 225 _
 r::::::w::::::w::::::w
 l 25  _ 625 _ 144 _
 r::::::w::::::w::::::w
 l 30  _ 900 _ 100 _
 h::::::j::::::j::::::j
<p>
  Nesse exemplo, temos: 
<R+>
 a rea do ladrilho  funo da medida do lado; 
 o nmero de ladrilhos  funo da rea do ladrilho; 
 o nmero de ladrilhos  funo da medida do lado. 
<R->
<227>

O prmio para os alunos 

  Numa gincana escolar prope-se a uma turma de 40 alunos um exerccio-desafio, em que os acertadores dividiro um prmio de R$240,00. Quanto receber cada acertador? A tabela a seguir d ideia de alguns valores. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: nmero de acertadores;
2 coluna: quantia (R$).
<F+>
<R->

 !:::::::::::
 l 1 _ 2  _
 r:::::w::::::w
 l 40 _ 6   _
 r:::::w::::::w
 l 30 _ 8   _
 r:::::w::::::w
 l 24 _ 10  _
 r:::::w::::::w
 l 20 _ 12  _
 r:::::w::::::w
 l 16 _ 15  _
 r:::::w::::::w
 l 12 _ 20  _
 r:::::w::::::w
 l 10 _ 24  _
 r:::::w::::::w
 l 8  _ 30  _
 r:::::w::::::w
 l 6  _ 40  _
 h:::::j::::::j
<p>
(continuao)
 !:::::::::::
 l 1 _ 2  _
 r:::::w::::::w
 l 4  _ 60  _
 r:::::w::::::w
 l 3  _ 80  _
 r:::::w::::::w
 l 2  _ 120 _
 r:::::w::::::w
 l 1  _ 240 _
 h:::::j::::::j

  A quantia que caber a cada acertador  funo do nmero de acertadores. 

Exerccios

  Leia atentamente os enunciados desta srie de exerccios, copie 
as tabelas no caderno e use as informaes obtidas para preench-
-las. 

<R+>
<F->
45. Uma empresa vai comprar brindes idnticos para distribuir no incio do ano entre seus clientes. Cada caixa com 10 brindes custar R$60,00. Quanto custaro mais brindes? 

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: nmero de brindes;
2 coluna: custo (R$).
<F+>
<R->

 !:::::::::::::
 l 1 _ 2    _
 r:::::w::::::::w
 l 10 _ 60    _
 r:::::w::::::::w
 l 20 _ '''    _
 r:::::w::::::::w
 l 30 _ '''    _
 r:::::w::::::::w
 l 50 _ '''    _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 600   _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 960   _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 3.000 _
 h:::::j::::::::j

<R+>
<F->
46. Um saco com 60 quilos de milho alimenta uma certa quantidade de frangos durante 30 dias. Para alimentar a mesma quantidade de frangos por um nmero diferente de dias, quantos quilos de milho so necessrios? 

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: nmero de dias;
2 coluna: milho (kg).
<F+>
<R->
<p>
 !:::::::::::
 l 1 _ 2  _
 r:::::w::::::w
 l 30 _ 60  _
 r:::::w::::::w
 l 60 _ '''  _
 r:::::w::::::w
 l 90 _ '''  _
 r:::::w::::::w
 l ''' _ 240 _
 r:::::w::::::w
 l 15 _ '''  _
 r:::::w::::::w
 l ''' _ 90  _
 h:::::j::::::j

<R+>
<F->
47. Para produzir certo nmero de embalagens, 8 mquinas idnticas precisam funcionar conjuntamente durante 40 minutos. 
  Para produzir o mesmo nmero de embalagens com um nmero diferente de mquinas, quanto tempo  necessrio? 
<p>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: nmero de mquinas;
2 coluna: tempo gasto (min).
<F+>
<R->

 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 8  _ 40 _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 1  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 64 _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 32 _
 h:::::j:::::j
<228>

<R+>
48. Para produzir 1.000 exemplares de certo livro, uma editora precisa de 360 quilos de papel. Quantos quilos de papel sero necessrios se as quantidades de exemplares forem outras? 

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: nmero de exemplares a produzir;
2 coluna: consumo de papel (kg).
<F+>
<R->

 !:::::::::::::::::
 l 1     _ 2    _
 r:::::::::w::::::::w
 l 1.000  _ 360   _
 r:::::::::w::::::::w
 l 1.500  _ '''    _
 r:::::::::w::::::::w
 l 2.000  _ '''    _
 r:::::::::w::::::::w
 l '''     _ 1.080 _
 r:::::::::w::::::::w
 l '''     _ 1.440 _
 r:::::::::w::::::::w
 l '''     _ 2.160 _
 r:::::::::w::::::::w
 l 10.000 _ '''    _
 r:::::::::w::::::::w
 l 15.000 _ '''    _
 h:::::::::j::::::::j
<p>
<R+>
<F->
49. Uma viagem de nibus entre So Paulo e Rio de Janeiro tem durao de 6 horas. Suponha que vrios nibus partam juntos de So Paulo para, em condies idnticas, fazer o percurso at o Rio de Janeiro. 

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: nmero de nibus;
2 coluna: tempo de viagem (h).
<F+>
<R->
<p>
 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 1  _ 6  _
 r:::::w:::::w
 l 2  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 3  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 6  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 7  _ ''' _
 h:::::j:::::j

<R+>
<F->
50. Trs torneiras idnticas, abertas completamente, enchem um tanque com gua em 24 horas. Se fosse outro o nmero de tor-
  neiras, em quanto tempo encheriam o mesmo tanque? 
<p>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: nmero de torneiras;
2 coluna: tempo (h).
<F+>
<R->

 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 3  _ 24 _
 r:::::w:::::w
 l 1  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 6  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 2  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 18 _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 8  _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 9  _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 6  _
 h:::::j:::::j
<p>
<R+>
<F->
51. Se o relgio da praa atrasasse 3 segundos a cada 2 dias, qual seria o atraso em vrios dias?

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: atraso (s);
2 coluna: nmero de dias.
<F+>
<R->

 !:::::::::::
 l 1 _ 2  _
 r:::::w::::::w
 l 3  _ 2   _
 r:::::w::::::w
 l 6  _ '''  _
 r:::::w::::::w
 l 9  _ '''  _
 r:::::w::::::w
 l 12 _ '''  _
 r:::::w::::::w
 l ''' _ 7   _
 r:::::w::::::w
 l ''' _ 30  _
 r:::::w::::::w
 l ''' _ 360 _
 h:::::j::::::j
<229>
<p>
Grandezas diretamente 
  proporcionais 

  Vamos voltar aos exemplos j apresentados de correspondncias entre grandezas. 
  No exemplo dos cocos, a razo entre o nmero de cocos e o preo correspondente  sempre a mesma: 
 11,20=22,40=33,60=
  =44,80=56,00=67,20=
  =78,40=89,60= ...
  O preo  diretamente proporcional ao nmero de cocos. 
  No exemplo do carro, a razo entre a distncia percorrida e o tempo gasto para percorr-la  sempre a mesma: 
 21=42=63=84=105=
  =126= ...
  A distncia percorrida  diretamente proporcional ao tempo gasto para percorr-la. 
<p>
  No exemplo da variao da massa, a razo entre a massa do leo e a correspondente altura do leo na vasilha  sempre a mesma: 
 8010=9612=11214=12816=
  =20025=40050=800100
  A massa do leo  diretamente proporcional  altura da camada de leo na vasilha. 
  
  Duas grandezas variveis so chamadas grandezas diretamente proporcionais quando a razo entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda  sempre a mesma. 

Grandezas inversamente 
  proporcionais 

  No exemplo dos ladrilhos, o produto entre a rea do ladrilho e o correspondente nmero de ladrilhos  sempre o mesmo: 
 100.#ijj=144.#fbe=225`.400=
  =400`.225=625`.144=900`.100 
<p>
  O nmero de ladrilhos a assentar  inversamente proporcional  rea dos ladrilhos assentados. 
  No exemplo do prmio para os alunos, o produto do nmero de acertadores pela correspondente quantia que cada um vai receber  sempre o mesmo: 
 40.6=30.8=24.10=20.12=
  =16.15= ... 
  A quantia que cada acertador vai receber  inversamente proporcional ao nmero de acertadores. 

  Duas grandezas variveis so chamadas grandezas inversamente proporcionais quando o produto de cada valor da primeira grandeza pelo valor correspondente da segunda  sempre o mesmo. 
<230>
<p>
Exerccio

<R+>
<F->
52. As tabelas a seguir indicam valores correspondentes de duas 
  grandezas. Analise cada tabela e responda, usando os cdigos a seguir: 
DP -- grandezas diretamente proporcionais 
IP -- grandezas inversamente proporcionais 
NP -- grandezas no proporcionais (nem diretamente nem inversamente) 
<F+>

_`[{dez tabelas adaptadas em duas colunas cada uma; contedo de cada uma nos itens a seguir_`]
 a) 1 coluna: hora do dia;
 2 coluna: temperatura (C).
<R->
<p>
 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 0  _ 10 _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ 5  _
 r:::::w:::::w
 l 8  _ 10 _
 r:::::w:::::w
 l 12 _ 15 _
 r:::::w:::::w
 l 16 _ 17 _
 r:::::w:::::w
 l 20 _ 13 _
 h:::::j:::::j
<p>
<R+>
b) 1 coluna: idade de Alfredo (ano);
 2 coluna: peso de Alfredo (kg).
<R->

 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 1  _ 10 _
 r:::::w:::::w
 l 3  _ 15 _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 20 _
 r:::::w:::::w
 l 7  _ 30 _
 r:::::w:::::w
 l 9  _ 40 _
 r:::::w:::::w
 l 15 _ 55 _
 r:::::w:::::w
 l 18 _ 60 _
 r:::::w:::::w
 l 35 _ 70 _
 h:::::j:::::j
<p>
<R+>
c) 1 coluna: lado do quadrado (cm);
 2 coluna: rea do quadrado (cm2).
<R->

 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 1  _ 1  _
 r:::::w:::::w
 l 2  _ 4  _
 r:::::w:::::w
 l 3  _ 9  _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ 16 _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 25 _
 r:::::w:::::w
 l 6  _ 36 _
 h:::::j:::::j
<p>
<R+>
d) 1 coluna: volume de combustvel (L);
 2 coluna: preo desse combustvel (R$).
<R->

 !:::::::::::::
 l 1 _ 2    _
 r:::::w::::::::w
 l 1  _ 0,60  _
 r:::::w::::::::w
 l 2  _ 1,20  _
 r:::::w::::::::w
 l 5  _ 3,00  _
 r:::::w::::::::w
 l 10 _ 6,00  _
 r:::::w::::::::w
 l 20 _ 12,00 _
 h:::::j::::::::j
<p>
<R+>
e) 1 coluna: altura do prdio (m);
 2 coluna: nmero de andares.
<R->

 !::::::::::::
 l 1   _ 2 _
 r:::::::w:::::w
 l 10,5 _ 3  _
 r:::::::w:::::w
 l 14   _ 4  _
 r:::::::w:::::w
 l 17,5 _ 5  _
 r:::::::w:::::w
 l 21   _ 6  _
 r:::::::w:::::w
 l 24,5 _ 7  _
 r:::::::w:::::w
 l 28   _ 8  _
 h:::::::j:::::j
<p>
<R+>
f) 1 coluna: nmero de nibus;
 2 coluna: nmero de passageiros transportados pelos nibus.
<R->

 !:::::::::::
 l 1 _ 2  _
 r:::::w::::::w
 l 4  _ 160 _
 r:::::w::::::w
 l 6  _ 230 _
 r:::::w::::::w
 l 8  _ 312 _
 r:::::w::::::w
 l 10 _ 410 _
 r:::::w::::::w
 l 12 _ 485 _
 h:::::j::::::j
<p>
<R+>
g) Num retngulo de rea 
  48 cm2;
 1 coluna: comprimento (cm);
 2 coluna: largura (cm).
<R->

 !:::::::::::
 l 1 _ 2  _
 r:::::w::::::w
 l 6  _ 8   _
 r:::::w::::::w
 l 8  _ 6   _
 r:::::w::::::w
 l 4  _ 12  _
 r:::::w::::::w
 l 3  _ 16  _
 r:::::w::::::w
 l 2  _ 24  _
 r:::::w::::::w
 l 1  _ 48  _
 r:::::w::::::w
 l 5  _ 9,6 _
 h:::::j::::::j
<p>
<R+>
h) Num retngulo de largura 
  5 m;
 1 coluna: comprimento (cm);
 2 coluna: rea (cm2).
<R->

 !:::::::::::
 l 1 _ 2  _
 r:::::w::::::w
 l 2  _ 10  _
 r:::::w::::::w
 l 1  _ 5   _
 r:::::w::::::w
 l 3  _ 15  _
 r:::::w::::::w
 l 6  _ 30  _
 r:::::w::::::w
 l 9  _ 45  _
 r:::::w::::::w
 l 80 _ 400 _
 h:::::j::::::j
<p>
<R+>
i) Numa caminhada de 6 km 
  `(=6.000 m=600.000 cm`);
 1 coluna: metros por minuto;
 2 coluna: tempo de caminhada (min).
<R->

 !::::::::::::
 l 1  _ 2  _
 r::::::w::::::w
 l 60  _ 100 _
 r::::::w::::::w
 l 75  _ 80  _
 r::::::w::::::w
 l 80  _ 75  _
 r::::::w::::::w
 l 100 _ 60  _
 r::::::w::::::w
 l 120 _ 50  _
 r::::::w::::::w
 l 125 _ 48  _
 h::::::j::::::j
<p>
<R+>
j) 1 coluna: comprimento do passo (cm);
 2 coluna: nmero de passos.
<R->

 !:::::::::::::::
 l 1  _ 2     _
 r::::::w:::::::::w
 l 50  _ 12.000 _
 r::::::w:::::::::w
 l 60  _ 10.000 _
 r::::::w:::::::::w
 l 75  _ 8.000  _
 r::::::w:::::::::w
 l 80  _ 7.500  _
 r::::::w:::::::::w
 l 100 _ 6.000  _
 h::::::j:::::::::j
<231>

Regra de trs simples 

  Problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos com o auxlio de uma regra prtica: a regra de trs simples. Vamos conhec-la nos exemplos a seguir. 
<p>
O preo do tecido 

  Tatiana comprou 8 m de um tecido por R$480,00. Quanto vai pagar por 10 m do mesmo tecido? 
  Para resolver esse problema, devemos: 
<R+>
 identificar as grandezas envolvidas. So duas grandezas: o nmero de metros de tecido e o preo pago pelo tecido; 
 verificar como se comportam as grandezas. 
<R->
  Observe que se o nmero de metros aumenta, a despesa de Tatiana tambm aumenta; se o nmero de metros dobra, o preo tambm dobra; se o nmero de metros triplica, o preo triplica, etc. As grandezas nmero de metros e preo a pagar so diretamente proporcionais. 
  Chamando de *x* o preo de 10 m de tecido, temos: 
<p>
<F->
Metros   Preo
8  ::::: 480
10 ::::: x
<F+>

  Sendo diretamente proporcionais: 
 8480=10x
 x=?480`.10*8=600
  Resposta: Tatiana vai pagar R$600,00 por 10 m de tecido. 

Andando de bicicleta 

  Desenvolvendo sempre a mesma velocidade, Luisinho percorre de bicicleta 1.400 m em 7 minutos. Quantos metros ele percorrer em 30 minutos? 
  As grandezas envolvidas so: distncia percorrida e tempo gasto para percorr-la. 
  Observe que se o tempo do movimento aumenta, a distncia percorrida tambm aumenta; se o tempo dobra, a distncia dobra; se o tempo triplica, a distncia triplica, etc. Ento, as grandezas distncia percorrida e tempo gasto para percorr-la so diretamente proporcionais. 
<232>
  Chamando de *x* a distncia que Luisinho percorre em 30 minutos, temos: 

<F->
Distncias  Minutos
1.400 :::::: 7
x      :::::: 30
<F+>

  Sendo diretamente proporcionais: 
 1.4007=x30
 x=?1.400`.30*7=6.000
  Resposta: Com sua bicicleta, Luisinho andar 6.000 m em 30 minutos. 

Exerccios

<R+>
<F->
53. Se 3,5 kg de feijo custam R$4,55, quanto custaro 6,5 kg? 
54. Em certa poca, 22 L de gasolina custavam R$12,10. Qual era o preo de 27 L? 
<p>
55. O relgio de Nanci atrasa 26 segundos a cada 48 horas. Quanto atrasa em 30 dias?  
56. Marlene est lendo um livro com 352 pginas. Em 3 horas ela j leu 48 pginas. Quanto tempo Marlene vai levar para ler o livro todo? 
<F+>
<R->

  Leia com ateno mais alguns exemplos: 

A velocidade do avio 

  Um avio,  velocidade de 800 km por hora, leva 42 minutos para ir de So Paulo a Belo Horizonte. Se a velocidade do avio fosse de 600 km por hora, em quanto tempo faria a mesma viagem? 
<233>
  As duas grandezas so: velocidade do avio e tempo de voo. 
  Observe que, se a velocidade do avio aumenta, o tempo de voo diminui; se a velocidade dobra, o tempo cai pela metade; se a velocidade triplica, o tempo de voo se reduz para um tero, etc. 
  Nesse caso, velocidade e tempo so grandezas inversamente proporcionais. 
  Chamando de *x* o tempo necessrio para voar de So Paulo a Belo Horizonte a 600 km/h, temos:

<F->
Velocidade  Tempo de voo
800 ::::::: 42
600 ::::::: x
<F+>

  Sendo inversamente proporcionais: 
 800`.42=600.x 
 x=?800`.42*600=56 
  Resposta: A 600 km/h, o avio vai de So Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos. 

Cortando a grama 

  Com 4 pessoas trabalhando,  possvel aparar a grama de um campo de golfe em 72 minutos. 
<p>
Com 6 pessoas trabalhando, em quanto tempo o gramado ficaria pronto? 
  As grandezas so: nmero de pessoas trabalhando e tempo gasto para aparar a grama. 
  Observe que, se o nmero de pessoas aumenta, o tempo gasto diminui; se o nmero de pessoas duplica, o tempo gasto cai pela metade; se o nmero de pessoas triplica, o tempo gasto cai para um tero, etc. 
  Tambm, nesse caso, nmero de pessoas e tempo gasto so grandezas inversamente proporcionais. 
  Chamando de *x* o tempo gasto para aparar a grama com o trabalho de 6 pessoas, temos: 

 Nmero de pessoas  Tempo gasto
 4 :::::::::::::::: 72
 6 :::::::::::::::: x
  
  Sendo inversamente proporcionais: 
 4.72=6.x 
 x=?4.72*6=48 
  Resposta: Com 6 pessoas trabalhando, o gramado ficaria pronto em 48 minutos. 
<234>

Exerccios

<R+>
<F->
57. Antigamente, o trajeto So Paulo-Rio podia ser feito por trem.  velocidade constante de 50 km/h, o trem fazia essa viagem em 8 horas. Se ele desenvolvesse a velocidade de 80 km/h, em quanto tempo faria o mesmo trajeto? 
58. Um navio foi abastecido com comida suficiente para alimentar 14 pessoas durante 45 dias. Se 18 pessoas embarcarem nesse navio, para quantos dias, no mximo, as reservas de alimento sero suficientes? 
59. Trs torneiras idnticas, abertas completamente, enchem um tanque de gua em 2 h 24 min. Se em vez de 3 torneiras fossem 5, quanto tempo elas levariam para encher o mesmo tanque? 
60. O relgio da igreja matriz adianta 21 segundos a cada 7 dias. Quanto adianta em 360 dias? 
61. Uma churrascaria comprou 48 quilogramas de alcatra por R$552,96. Quanto dessa carne poderia comprar com R$743,04?  

O que popularmente  "quilo", oficialmente  quilograma.

62. Para imprimir 5.100 exemplares de certo livro foram usados 2.244 quilos de papel. Quantos exemplares desse livro podem ser impressos com 2.156 quilos do mesmo papel? 
63. Uma torneira, completamente aberta, leva 33 segundos para encher um balde com capacidade de 20 L. Quanto tempo seria necessrio para essa torneira encher um recipiente com capacidade para 1.240 L? 
64. Em 25 litros de gua,  temperatura ambiente,  possvel dissolver at 8.925 gramas de sal. Qual a quantidade mxima de sal que pode ser dissolvida em 1.400 litros de gua? 
65. Uma montadora de automveis produz mensalmente 1.200 veculos de certo modelo, se a linha de montagem operar 9 horas por dia. Quantos veculos sero produzidos se a linha de montagem operar diariamente durante 6 horas? 
66. Cinco pedreiros, com a mesma capacidade de trabalho, levam 27 dias para concluir certa obra. Com apenas 3 desses pedreiros, em quanto tempo a obra seria concluda?  
<F+>
<R->
<235>

Grandeza proporcional a 
  outras 

  Acompanhe atentamente as situaes que apresentaremos a seguir. 
<p>
A velocidade do nibus 

<R+>
Situao I: Um nibus,  velocidade de 80 km/h, demora 5 horas para percorrer 400 km. 
 Situao II: Se o mesmo nibus rodar  velocidade de 100 km/h durante 5 horas, que distncia conseguir percorrer? 
<R->
  Como o nmero de horas de viagem (5 horas) foi mantido, a distncia percorrida  diretamente proporcional  velocidade do nibus. Temos, ento, a seguinte regra de trs: 

<F->
           Velocidade Distncia
            (km/h)   (km)
situao I   80  :::: 400
situao II 100 :::: x
<F+>

  Sendo diretamente proporcionais: 
 80400=100x
 80.x=400`.100
 x=?400`.100*80=500 
<p>
  Logo, rodando 5 horas a 100 km/h, o nibus conseguir percorrer 500 km. 
<R+>
 Situao III: E se o mesmo nibus rodar  velocidade de 100 km/h durante 7 horas, que distncia conseguir percorrer? 
<R->
  Como a velocidade (100 km/h) foi mantida, a distncia percorrida  diretamente proporcional ao nmero de horas de viagem. 
  Temos, ento, a seguinte regra de trs: 

<F->
                Tempo  Distncia 
                (h)   (km)
situao II   5 :::: 500
situao III  7 :::: y
<F+>

  Sendo diretamente proporcionais:
<F->
5500=7y
5.y=500`.7
y=?500`.7*5=700
<F+>
<p>
  Logo, rodando 7 horas a 100 km/h, o nibus conseguir percorrer 700 km. 
  Agora, vamos comparar as trs grandezas -- velocidade, tempo de viagem e distncia percorrida --, nas situaes I e III: 
 situao I:
  Velocidade (km/h): 80
  Tempo (h): 5
  Distncia (km): 400
 situao III:
  Velocidade (km/h): 100
  Tempo (h): 7
  Distncia (km): 700
<F+>
<F+>
<236>
  Observe que a distncia percorrida: 
<R+>
 no  proporcional  velocidade: 
<R->
 80400=100700
<R+>
 no  proporcional ao tempo de viagem: 
<R->
 5400=7700
<R+>
  diretamente proporcional ao produto da velocidade pelo tempo de viagem: 
<R->
 ?80.5*400=?100`.7*700
<p>
  Agora acompanhe com ateno as situaes apresentadas a seguir. 

Para revestir a parede 

<R+>
Situao I: Para revestir uma parede de 4 m de comprimento por 2,5 m de altura so necessrios 300 azulejos. 
 Situao II: Para revestir uma parede de 5 m de comprimento por 2,5 m de altura, quantos azulejos so necessrios? 
<R->
  Como a altura foi mantida, o nmero de azulejos  diretamente proporcional ao comprimento da parede. 
  Temos, ento, a seguinte regra de trs: 

<F->
     comprimento (m)   azulejos
situao I   4 ::::::  300
situao II 5 ::::::  x
<F+>

  Da: 4300=5x, ou seja, 
 x=?5`.300*4=375. 
<R+>

Situao III: E para revestir uma parede de 5 m de comprimento por 3 m de altura, quantos azulejos so necessrios? 
<R->

  Como o comprimento foi mantido, o nmero de azulejos  diretamente proporcional  altura da parede. 
  Temos, ento, a seguinte regra de trs: 

<F->
            altura (m)  azulejos
situao II   2,5 :::: 375
situao III  3   :::: y
<F+>

  Da: 2,5375=3y, ou seja, y=?375`.3*2,5=450. 
  Agora, vamos comparar as trs grandezas -- comprimento, altura e nmero de azulejos --, nas situaes I e III: 

<F->
situao I:
  comprimento (m): 4
  altura (m): 2,5
  nmero de azulejos: 300
<p>
situao III:
  comprimento (m): 5
  altura (m): 3
  nmero de azulejos: 450
<F+>
<237> 

  Observe que o nmero de azulejos: 
<R+>
 no  proporcional ao comprimento: 
<R->
 4300=5450
 no  proporcional  altura: 
 2,5300=3450 
<R+>
  diretamente proporcional ao produto do comprimento pela altura: 
<R->
 ?4.2,5*300=?5.3*450

  De modo geral, suponhamos que uma grandeza A dependa de duas outras grandezas, B e C. Se, fixando C, 
<R+>
 A  diretamente proporcional a B e se, fixando B, 
 A  diretamente proporcional a C, ento A  proporcional ao produto B.C. 
<R->
<p>
  No dia a dia, inmeras vezes deparamos com situaes que envolvem uma grandeza proporcional a outras. 

Regra de trs composta 

A confeco de tecidos 

  Para confeccionar 1.600 metros de tecido com largura de 1,80 m, a Tecelagem Nortefabril S.A. consome 320 quilos de fio. Qual  a quantidade de fio necessria para produzir 2.100 metros do mesmo tecido com largura de 1,50 m? 
  Esse  um problema que envolve uma grandeza (quantidade de fio) proporcional a outras duas (comprimento do tecido e largura do tecido). 
  Para resolver esse problema, vamos utilizar a regra de trs composta. 
<p>
  Sendo *x* o nmero de quilogramas de fio para produzir 2.100 metros de tecido com largura de 1,50 m, temos a seguinte correspondncia: 

Legenda:
 A: quantidade de fio (kg)
 B: comprimento produzido (m)
 C: largura (m)
 sI: situao I
 sII: situao II

<F->
       A       B         C
sI:   320 ::  1.600 ::  1,80
sII: x    ::  2.100 ::  1,50
<F+>
<238>

  Precisamos calcular a grandeza A (quantidade de fio), que depende das grandezas B (comprimento do tecido) e C (largura do tecido). 
  Fixando C, verificamos que A  diretamente proporcional a B. 
<p>
  Observe que, para uma mesma largura, aumentando o comprimento, aumenta proporcionalmente a quantidade de fio. 
  Fixando B, A  diretamente proporcional a C. Observe que, para um mesmo comprimento, aumentando a largura, aumenta proporcionalmente a quantidade de fio. 
  Ento, A  diretamente proporcional ao produto B.C: 
320?1.600`.1,80*=x?2.100`.
  .1,50*
 3202.880=x3.150
 x=?3.150`.320*2.880=350
  Resposta: So necessrios 350 quilos de fio. 

Alimentando os animais 

  Para alimentar 12 porcos durante 20 dias so necessrios 400 quilos de farelo. Quantos porcos podem ser alimentados com 600 quilos de farelo durante 24 dias? 
<p>
  Sendo *x* o nmero de porcos para serem alimentados com 600 quilos de farelo, temos: 

<F->
Legenda:
A: nmero de porcos
B: quantidade de farelo (kg)
C: nmero de dias
sI: situao I
sII: situao II

        A     B      C 
sI:   12 :: 400 :: 20
sII: x   :: 600 :: 24
<F+>

  Vamos calcular a grandeza A, que depende das grandezas B e C. 
  Fixando C, A  diretamente proporcional a B. 
  Fixando B, A  inversamente proporcional a C. Nesse caso, A  diretamente proporcional ao inverso de C. Por isso, devemos modificar a tabela de dados, tomando os inversos dos valores de C: 
<p>
 A      B       1C
 12 ::: 400 ::: 120
 x   ::: 600 ::: 124
<239>

  Ento, A  diretamente proporcional ao produto B.1C:
 12?400`.120*=x?600`.124*
 1220=x25
 x=?12.25*20=15
  Resposta: Podem ser alimentados 15 porcos. 

Exerccios

<R+>
<F->
67. Um nibus,  velocidade de 80 km/h, percorre 400 quilmetros em 5 horas. Se o nibus rodar a 100 km/h durante 7 horas, que distncia percorrer?  
68. Para revestir uma parede de 3 m de comprimento por 2,25 m de altura, so necessrios 300 azulejos. Quantos azulejos seriam necessrios se a parede medisse 4,5 m2 m?
<p>
69. Uma loja dispe de 20 balconistas que trabalham 8 horas por dia. Os salrios mensais desses balconistas perfazem o total de R$28.000,00. Quanto a loja gastar por ms, se passar a ter 30 balconistas trabalhando 5 horas por dia? 
70. Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias so necessrios 90 quilogramas de rao. Quantos coelhos  possvel alimentar em 20 dias com 117 quilogramas de rao?  
71. Uma montadora de automveis demora 8 dias para produzir 200 veculos, trabalhando 9 horas por dia. Quantos veculos montar em 15 dias, funcionando 12 horas por dia? 
72. Para produzir 1.000 livros de 240 pginas, uma grfica consome 360 quilos de papel. Quantos livros de 320 pginas  possvel imprimir com 720 quilos de papel?  
<F+>
<R->

Os operrios e o muro 

  Se 4 operrios, trabalhando 8 horas por dia, levantam um muro de 30 metros de comprimento em 10 dias, qual o comprimento do muro (com a mesma largura e altura que o anterior) que 6 operrios erguero em 8 dias, trabalhando 9 horas por dia? 
  Sendo *x* o comprimento do muro construdo por 6 operrios, temos: 

Legenda:
 A: comprimento do muro (m)
 B: nmero de operrios
 C: nmero de dias
 D: nmero de horas por dia
 sI: situao I
 sII: situao II

<F->
       A     B    C    D
sI:   30 :: 4 :: 10 :: 8
sII: x   :: 6 :: 8  :: 9
<F+>
<240>
<p>
  Vamos calcular a grandeza A, que depende das grandezas B, C e D. 
  Fixando C e D, A  diretamente proporcional a B. 
  Fixando B e D, A  diretamente proporcional a C. 
  Fixando B e C, A  diretamente proporcional a D. 
  Ento, A  proporcional ao produto B.C.D, ou seja: 
 30?4.10.8*=x?6.8.9*
 30320=x432
 x=?432`.30*320=40,5
  Resposta: Sero construdos 40,5 metros de muro. 

Exerccios

<R+>
<F->
73. Para abrir uma valeta de 50 m de comprimento e 2 m de profundidade, 10 operrios levam 6 dias. Quantos dias sero necessrios para abrir 80 m de valeta com 3 m de profundidade, dispondo de 16 operrios?  
<p>
74. Se 5 homens podem arar um campo de 10 hectares em 9 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos homens sero necessrios para arar 20 hectares em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia? 
75. Se 12 operrios, trabalhando 10 horas dirias, levantam um muro de 20 metros de comprimento em 6 dias, em quanto tempo 15 operrios, trabalhando 8 horas por dia, levantaro um muro de 30 metros com a mesma altura e largura do anterior?  
<F+>
<R->

Desafio 

Sem quebrar os ovos? 

  Um feirante tinha uma cesta de ovos para vender e atendeu sucessivamente trs fregueses. Cada fregus levou a metade dos ovos e mais meio ovo do total de ovos existentes na cesta. 
<p>
  Se o feirante no precisou quebrar nenhum ovo e sobraram 10 ovos na cesta, quantos ovos havia inicialmente? 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Sexta Parte
